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sábado, 15 de agosto de 2009
quinta-feira, 2 de abril de 2009
Equação do 2º Grau
Uma equação é formada por um polinômio e uma igualdade. O grau desse polinômio determina o grau da equação. Por exemplo:
• 2x + 2 = 5 ↔ 2x – 3 = 0 → o polinômio 2x – 3 é do 1º grau, pois o seu monômio de maior grau é 2x. Portanto, a equação é do primeiro grau.
• 3a3 + 5a – 1 = 0 → 3a3 + 5a – 1 é um polinômio de 3º grau, pois o monômio de maior grau é 3a3. Portanto, a equação é de 3º grau.
• 2y2 + 5 = 0 → 2y2 + 5 é um polinômio de 2º grau, pois o monômio de maior grau é 2y2. Portanto, a equação é do segundo grau.
Toda equação do segundo grau pode ser escrita de uma forma geral:
ax2 + bx + c = 0
onde a , b, c poderá assumir qualquer valor real, mas para que a equação continue sendo do 2º grau o valor de a deverá ser diferente de zero.
Veja como identificar os valores de a, b, c em uma equação do 2º grau.
• 2x2 + 5x – 1 = 0
a = 2
b = 5
c = -1
• x2 – 2x + 4 = 0
a = 1
b = -2
c = 4
• (2 + 6y) (2 – 6y) = - 320, antes de identificarmos os valores dos coeficientes, devemos organizar essa equação na forma geral de uma equação do 2º grau.
(2 + 6y) (2 – 6y) = - 320 → aplicando a propriedade distributiva, temos:
4 – 36y2 = - 320
- 36y2 +4 + 320 = 0
-36y2 + 324 = 0 → quando uma equação do 2º grau falta algum membro ela é dita incompleta e o termo que está faltando dizemos que ele é igual a zero.
a = -36
b = 0
c = 324
• - x2 – x = 0
a = -1
b = -1
c = 0
Existem várias maneiras de resolvermos ou encontrarmos as raízes de uma equação do 2º grau, ou seja, encontrarmos os valores de x, a mais conhecida é a fórmula de Báskara.
x = - b ± √∆
2a
Veja a demonstração de como chegamos a essa fórmula:
Pegamos a forma geral de uma equação do 2º grau.
Podemos dizer que b2 – 4ac = ∆
Quem foi Bhaskara
. Bhaskara Akaria foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara, tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, por exemplo, dando pioneiramente a solução geral da conhecida equação de Pell e a solução de um problema da divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal quociente seria infinito.
Tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, cidade onde ficou até morrer e o principal centro matemático da Índia na sua época, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola de astronomia matemática.
Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho, reivindicado para ele, é considerado por muitos historiadores como uma não falsificação posterior.
Formula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática é:
Onde
, .
Bhaskara
Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.
Equação completa e equação incompleta
Pela definição de uma equação do 2º grau, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0. Assim:
• Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, dizemos que a equação é completa.
Ex.:
2x2 - 5x + 2 = 0 é uma equação completa (a = 2, b = -5 e c = 2)
-y2 + 5y + 6 = 0 é uma equação completa (a = -1, b = 5 e c =6)
• Quando b = 0 ou c = 0, a equação se diz incompleta.
Ex.:
2t2 - 5t = 0 é uma equação incompleta (a = 2, b = -5 e c =0)
y2 - 36 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = -36)
-7x2 = 0 é uma equação incompleta (a = -7, b = 0 e c =0)
Escrevendo uma equação do 2º grau na forma normal
Observe as equações do 2º grau:
x2 - 7x + 10 = 0
y2 - 81 = 0
-2t2 + 5t - 2 = 0
-6x2 + x = 0
A Fórmula de Bhaskara
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
x
Uma equação é formada por um polinômio e uma igualdade. O grau desse polinômio determina o grau da equação. Por exemplo:
• 2x + 2 = 5 ↔ 2x – 3 = 0 → o polinômio 2x – 3 é do 1º grau, pois o seu monômio de maior grau é 2x. Portanto, a equação é do primeiro grau.
• 3a3 + 5a – 1 = 0 → 3a3 + 5a – 1 é um polinômio de 3º grau, pois o monômio de maior grau é 3a3. Portanto, a equação é de 3º grau.
• 2y2 + 5 = 0 → 2y2 + 5 é um polinômio de 2º grau, pois o monômio de maior grau é 2y2. Portanto, a equação é do segundo grau.
Toda equação do segundo grau pode ser escrita de uma forma geral:
ax2 + bx + c = 0
onde a , b, c poderá assumir qualquer valor real, mas para que a equação continue sendo do 2º grau o valor de a deverá ser diferente de zero.
Veja como identificar os valores de a, b, c em uma equação do 2º grau.
• 2x2 + 5x – 1 = 0
a = 2
b = 5
c = -1
• x2 – 2x + 4 = 0
a = 1
b = -2
c = 4
• (2 + 6y) (2 – 6y) = - 320, antes de identificarmos os valores dos coeficientes, devemos organizar essa equação na forma geral de uma equação do 2º grau.
(2 + 6y) (2 – 6y) = - 320 → aplicando a propriedade distributiva, temos:
4 – 36y2 = - 320
- 36y2 +4 + 320 = 0
-36y2 + 324 = 0 → quando uma equação do 2º grau falta algum membro ela é dita incompleta e o termo que está faltando dizemos que ele é igual a zero.
a = -36
b = 0
c = 324
• - x2 – x = 0
a = -1
b = -1
c = 0
Existem várias maneiras de resolvermos ou encontrarmos as raízes de uma equação do 2º grau, ou seja, encontrarmos os valores de x, a mais conhecida é a fórmula de Báskara.
x = - b ± √∆
2a
Veja a demonstração de como chegamos a essa fórmula:
Pegamos a forma geral de uma equação do 2º grau.
Podemos dizer que b2 – 4ac = ∆
Quem foi Bhaskara
. Bhaskara Akaria foi um matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII e último matemático medieval importante da Índia. Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara, tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, por exemplo, dando pioneiramente a solução geral da conhecida equação de Pell e a solução de um problema da divisão por zero, ao afirmar também pioneiramente, em sua publicação Vija-Ganita ou Bijaganita, um trabalho em 12 capítulos, que tal quociente seria infinito.
Tornou-se chefe do observatório astronômico a Ujjain, cidade onde ficou até morrer e o principal centro matemático da Índia na sua época, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola de astronomia matemática.
Sua obra representou a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos e um sétimo trabalho, reivindicado para ele, é considerado por muitos historiadores como uma não falsificação posterior.
Formula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara, utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática é:
Onde
, .
Bhaskara
Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India.
Equação completa e equação incompleta
Pela definição de uma equação do 2º grau, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0. Assim:
• Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, dizemos que a equação é completa.
Ex.:
2x2 - 5x + 2 = 0 é uma equação completa (a = 2, b = -5 e c = 2)
-y2 + 5y + 6 = 0 é uma equação completa (a = -1, b = 5 e c =6)
• Quando b = 0 ou c = 0, a equação se diz incompleta.
Ex.:
2t2 - 5t = 0 é uma equação incompleta (a = 2, b = -5 e c =0)
y2 - 36 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = -36)
-7x2 = 0 é uma equação incompleta (a = -7, b = 0 e c =0)
Escrevendo uma equação do 2º grau na forma normal
Observe as equações do 2º grau:
x2 - 7x + 10 = 0
y2 - 81 = 0
-2t2 + 5t - 2 = 0
-6x2 + x = 0
A Fórmula de Bhaskara
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatora-lo num quadrado perfeito
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
x
domingo, 18 de janeiro de 2009
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